11. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а синус угла между ними равен 4√3/7. Найдите третью сторону треугольника.

Синус не определяет угол однозначно: угол может быть острым или тупым. По основному тригонометрическому тождеству \(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1/49\), следовательно, \(\cos\alpha=\pm1/7\).

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\): \(c^2=7^2+8^2-2\cdot7\cdot8\cos\alpha=113-112\cos\alpha\).

Если угол острый, \(\cos\alpha=1/7\), тогда \(c^2=97\) и \(c=\sqrt{97}\) см. Если угол тупой, \(\cos\alpha=-1/7\), тогда \(c^2=129\) и \(c=\sqrt{129}\) см. Оба результата удовлетворяют неравенствам треугольника.

Ответ: \(\sqrt{97}\) см или \(\sqrt{129}\) см.