11. Две стороны треугольника равны 7 см и 8 см, а синус угла между ними равен \(\frac{4\sqrt3}{7}\). Найдите третью сторону треугольника.

Синус заданного угла примерно равен \(0.99\), поэтому возможны два угла с таким синусом: острый и тупой. Их косинусы равны по модулю:

\(\cos C=\pm\sqrt{1-\sin^2 C}=\pm\sqrt{1-\frac{48}{49}}=\pm\frac17\).

По теореме косинусов для третьей стороны \(c\):

\(c^2=7^2+8^2-2\cdot7\cdot8\cos C=113-112\cos C\).

Если угол острый, \(\cos C=\frac17\), тогда \(c^2=97\), значит \(c=\sqrt{97}\) см.

Если угол тупой, \(\cos C=-\frac17\), тогда \(c^2=129\), значит \(c=\sqrt{129}\) см.

Ответ: \(\sqrt{97}\) см или \(\sqrt{129}\) см.