11 Из декоративной проволоки нужно спаять плоское украшение в виде листка заданных размеров (см. рисунок), затратив наименьшее возможное количество проволоки. Проволоку можно гнуть под любым углом и спаивать в точках соединения. Какое наименьшее количество кусков проволоки нужно, чтобы спаять украшение, показанное на рисунке?

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Изучим форму украшения: это плоское изображение листа с прожилками.

2. Проанализируем структуру: лист состоит из контура и внутренних прожилок.

3. Обозначим точки соединения: вершина листа, места ответвлений прожилок.

4. Определим, как можно провести проволоку, чтобы покрыть всю фигуру, используя минимальное количество кусков.

• Первый кусок: можно начать с вершины листа (острый конец), пройти по одной стороне контура до нижней части, затем по центральной прожилке до ответвления, затем по одной из боковых прожилок, вернуться к центральной, пройти по другой боковой прожилке, вернуться к центральной, пройти до основания листа.
• Второй кусок: оставшаяся часть контура и оставшиеся прожилки.

5. Рассмотрим более детально. На изображении листа есть 5 выступов (лепестков).

• Можно начать с одной вершины листа (например, верхней), пройти по периметру листа, затрагивая все крайние точки.
• Затем, нужно соединить центральную часть листа с периферийными прожилками.

6. Если представить, что каждая непрерывная линия, которую можно согнуть, является одним куском проволоки:

• Вариант 1: Начать с верхней точки листа, пройти по одной стороне контура до нижней центральной точки, затем пройти по центральной прожилке до первого ответвления, затем по боковой прожилке к краю, вернуться к центральной, пройти к следующему ответвлению, и так далее, пока не будут пройдены все прожилки, выходящие из центральной. Затем, вернуться по центральной прожилке до основания листа. В этом случае, весь контур (кроме той части, что была пройдена как центральная прожилка) и все прожилки будут покрыты одним куском. Остается закрыть оставшийся контур.

7. Ключевой момент: «минимальное возможное количество проволоки». Это означает, что мы должны использовать минимальное количество отдельных кусков, чтобы создать всю структуру. Наличие точек соединения позволяет «переходить» между частями фигуры.

8. Посмотрим на структуру листа как на граф. Вершины — это точки соединения, ребра — участки проволоки.

9. Чтобы покрыть весь граф, нам нужно определить, сколько раз нам придется «поднимать перо».

10. Если мы начинаем с верхней точки и идем по контуру, затем по центральной прожилке, делая ответвления, мы можем покрыть большую часть фигуры одним куском. Однако, нам нужно соединить все точки.

11. На изображении видно, что лист имеет симметричную структуру. Есть центральная жилка, от которой отходят боковые. И внешний контур.

• Кусок 1: Можно начать с одной из крайних вершин (например, верхней), пройти по периметру листа, затем по центральной жилке до первого ответвления, по одной из боковых жилок до края, вернуться к центральной, пройти по другой боковой жилке и так далее.

12. Рассмотрим структуру: 5 «лепестков». Центральная жилка. Контур.

13. Если мы начинаем с вершины листа, проходим по одной стороне контура, затем по центральной жилке, затем по ответвлениям, и возвращаемся по другой стороне контура — это все может быть одним куском, если правильно спланировать.

14. Посмотрим на рисунок: лист имеет 5 «пальцев». Центральная жилка и контур. Каждая «пальцевая» прожилка соединена с центральной.

15. Если мы начнем с верхней точки, пойдем по контуру влево, затем вниз к основанию, затем вверх по центральной жилке, делая ответвления на лепестки, и закончим на верхней точке справа. Это будет один непрерывный кусок.

16. Другой вариант: начать с основания листа, пройти вверх по центральной жилке, делая ответвления на лепестки. Затем, от верхней точки, спуститься по контуру, и закончить у основания. Это тоже будет один кусок.

17. По условию, проволоку можно гнуть под любым углом и спаивать в точках соединения. Это значит, что мы можем начать в любой точке, пройти по всей длине, возвращаясь к началу, если это необходимо.

18. Если мы хотим минимизировать количество кусков, мы должны стремиться сделать каждый кусок максимально длинным и покрыть им как можно большую часть фигуры.

19. Рассмотрим, сколько «путей» нам нужно, чтобы пройти по всем ребрам графа (представляющего лист). Это задача на Эйлеров путь/цикл.

20. В графе, для существования Эйлерова цикла (путь, проходящий через каждое ребро ровно один раз и возвращающийся в начальную вершину), все вершины должны иметь четную степень (количество ребер, сходящихся в вершине).

21. Посчитаем степени вершин на рисунке:

• Вершины, где сходятся 3 прожилки (ответвления): степень 3 (нечетная). Всего таких вершин 5 (по количеству лепестков).
• Вершина основания листа: степень 1 (нечетная).
• Вершина верха листа: степень 1 (нечетная).
• Вершины, где центральная прожилка соединяется с боковыми: степень 4 (четная).

22. В нашем графе есть 7 вершин с нечетной степенью (5 ответвлений + основание + вершина). Количество вершин с нечетной степенью должно быть четным. Если это не так, то есть ошибка в подсчете или понимании структуры.

23. Посмотрим на рисунок еще раз. Предположим, что точки соединения — это:

• Вершина листа (острие)
• Основание листа
• 5 точек, где центральная жилка разветвляется на боковые
• 10 точек на внешнем контуре, где контур соответствует выступу лепестка.

24. Давайте упростим: предположим, что точки соединения — это все вершины, где что-то меняется.

• Вершина листа (1)
• Основание листа (1)
• 5 точек ответвлений прожилок от центральной (5)
• 2 точки, где контур листа примыкает к центральной прожилке (2)

25. На самом деле, проще думать о количестве непрерывных линий.

26. Если мы начнем с верхней точки, пройдем по одной стороне контура, затем по центральной жилке, делая ответвления, и вернемся по другой стороне контура к основанию. Это будет один кусок. Но нам нужно еще закрыть контур.

27. Если мы используем один кусок проволоки, мы можем начать с вершины, пройти по одной стороне контура, затем по центральной жилке, делая ответвления, и закончить у основания. Затем, нам нужно будет второй кусок, чтобы пройти по оставшейся части контура.

28. Минимальное количество кусков равно половине числа вершин с нечетной степенью (если оно больше 0) или 1, если все степени четные.

29. Давайте пересчитаем степени вершин, считая только концы линий как вершины.

• Вершина листа (верхняя): 1 (контур)
• Основание листа: 1 (контур + центральная жилка)
• 5 точек разветвления центральной жилки: 4 (центральная + 2 боковые + возврат к центру, если это так)
• 10 точек на контуре, где он изгибается.

30. Простейший подход: сколько отдельных линий нужно, чтобы нарисовать лист, не отрывая карандаша? Попробуем нарисовать:

• Кусок 1: Начать с верхней точки. Пройти по одной стороне контура до нижней точки. Затем пройти по центральной прожилке до первого ответвления. Пройти по боковой прожилке до края. Вернуться к центральной. Пройти по другой боковой прожилке и вернуться к центральной. Продолжить по центральной до следующего ответвления и так далее, до основания.
• Кусок 2: Теперь нам нужно пройти по оставшейся части контура.

31. Посмотрим на рисунок: центральная жилка, от нее отходят 5 пар боковых жилок. И внешний контур.

• Кусок 1: Начать с вершины листа. Пройти по правой стороне контура до нижней точки. Затем пройти по центральной жилке. В первой точке разветвления, пройти по правой боковой жилке, вернуться к центральной. Затем по левой боковой жилке, вернуться к центральной. Повторить для всех 5 ответвлений. В итоге, мы пройдем по центральной жилке до основания.
• Кусок 2: Теперь нужно пройти по оставшейся левой стороне контура листа.

32. Таким образом, нам потребуется 2 куска проволоки.

33. Проверим: Если мы начнем с верхней точки, пройдем по всей правой стороне контура, затем по центральной жилке, включая все ответвления, и закончим у основания листа. Это один кусок. Затем, второй кусок, чтобы пройти по всей левой стороне контура.

34. В задаче сказано «плоское украшение в виде листка». На рисунке изображен кленовый лист.

35. Рассмотри точки соединения:

• 1. Верхняя вершина листа.
• 2. Основание листа.
• 3. 5 точек, где центральная жилка разветвляется.
• 4. 10 точек на контуре, где он формирует «пальцы» листа.

36. Для того чтобы провести непрерывную линию через все ребра графа, количество вершин с нечетной степенью не должно превышать 2.

37. Если мы рассматриваем каждую прожилку и контур как ребра, то:

• Вершина наверху: степень 1 (контур)
• Основание: степень 1 (контур + центральная жилка)
• 5 точек разветвления: степень 4 (центральная + 2 боковые + возвращение к центру) — если считать, что прожилки соединяются с центральной, а затем продолжаются.

38. По сути, мы должны покрыть все линии. Можно ли это сделать одним куском? Нет, потому что есть несколько вершин, из которых выходит нечетное число линий (например, вершины, где сходятся 3 линии).

39. Минимальное количество кусков равно числу вершин с нечетной степенью, деленному на 2 (округляя вверх, если число нечетное, но тут оно должно быть четным). Или, если есть 2 вершины с нечетной степенью, то 1 кусок. Если 4 вершины с нечетной степенью, то 2 куска.

40. На рисунке, если внимательно посмотреть, есть 4 вершины, где сходятся 3 линии (2 точки ответвления прожилок, каждая из которых имеет 2 выхода + вход из центра; и 2 крайние вершины листа). И две вершины с одной линией (верхний и нижний конец листа).

41. На самом деле, проще представить, что каждая «пальцевая» прожилка и контур — это отдельные линии, которые нужно соединить.

42. Нам нужно провести линию по всему контуру листа (это может быть 1 или 2 куска, если считать изгибы).

43. И провести линии по всем прожилкам.

44. Если мы начнем с верхней точки, пройдем по одной стороне контура, затем по центральной жилке, затем по всем ответвлениям, и закончим у основания. Это будет один кусок. А затем, нам нужно будет второй кусок, чтобы пройти по оставшейся части контура.

45. Еще раз: представьте, что вы рисуете это. Вы можете начать с верхней точки, пройти по правой стороне контура, затем по центральной жилке, делая ответвления для всех 5 «пальцев», и закончить у основания. Это будет один кусок. Затем, второй кусок, чтобы пройти по левой стороне контура.

46. Таким образом, минимальное количество кусков — 2.