11 класс. Тема: «Показательные неравенства » Карточка № 4 Решить неравенство: 1. 8x > 32 2. 0,25x^2-x < 1 3. 25^x - 6 * 5^x + 5 < 0

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. 1. 8^x > 32
   Приводим к основанию 2: \( (2^3)^x > 2^5 \) => \( 2^{3x} > 2^5 \).
   Поскольку основание 2 > 1, функция возрастает, поэтому сравниваем показатели: \( 3x > 5 \) => \( x > \frac{5}{3} \).
2. 2. 0,25^{x^2-x} < 1
   Представим 1 как \( 0.25^0 \): \( 0.25^{x^2-x} < 0.25^0 \).
   Поскольку основание 0.25 < 1, функция убывает, поэтому меняем знак неравенства при сравнении показателей: \( x^2 - x > 0 \).
   Выносим \( x \) за скобки: \( x(x - 1) > 0 \>.
   Корни: \( x = 0 \) и \( x = 1 \>.
   Парабола ветвями вверх, значит, \( x < 0 \) или \( x > 1 \>.
   Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (1; \infty) \).
3. 3. 25^x - 6 * 5^x + 5 < 0
   Заменим \( 25^x \) на \( (5^x)^2 \). Пусть \( y = 5^x \>. Тогда неравенство примет вид: \( y^2 - 6y + 5 < 0 \>.
   Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 - 6y + 5 = 0 \>.
   По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = 6 \) и \( y_1 \cdot y_2 = 5 \>.
   Корни: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 5 \>.
   Неравенство \( y^2 - 6y + 5 < 0 \) выполняется при \( 1 < y < 5 \>.
   Подставляем обратно \( y = 5^x \>: \( 1 < 5^x < 5 \>.
   Представим 1 как \( 5^0 \> и \( 5 \) как \( 5^1 \>: \( 5^0 < 5^x < 5^1 \>.
   Поскольку основание 5 > 1, функция возрастает, сравниваем показатели: \( 0 < x < 1 \>.
   Ответ: \( x \in (0; 1) \).