11 класс. Тема: «Показательные неравенства » Карточка № 6 Решить неравенство: 1. 16x > 1/2 2. 0,4^x^2-x < 1 3. 6^(2x) - 7 * 6^x + 6 < 0

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. 1. 16^x > 1/2
   Приводим к основанию 2: \( (2^4)^x > 2^{-1} \) => \( 2^{4x} > 2^{-1} \>.
   Поскольку основание 2 > 1, функция возрастает, сравниваем показатели: \( 4x > -1 \) => \( x > -\frac{1}{4} \>.
   Ответ: \( x \in (-\frac{1}{4}; \infty) \).
2. 2. 0,4^{x^2-x} < 1
   Представим 1 как \( 0.4^0 \>: \( 0.4^{x^2-x} < 0.4^0 \>.
   Поскольку основание 0.4 < 1, функция убывает, меняем знак неравенства при сравнении показателей: \( x^2 - x > 0 \>.
   Выносим \( x \) за скобки: \( x(x - 1) > 0 \>.
   Корни: \( x = 0 \) и \( x = 1 \>.
   Парабола ветвями вверх, значит, \( x < 0 \) или \( x > 1 \>.
   Ответ: \( x \in (-\infty; 0) \cup (1; \infty) \).
3. 3. 6^2x - 7 * 6^x + 6 < 0
   Заменим \( 6^{2x} \) на \( (6^x)^2 \>. Пусть \( y = 6^x \>. Тогда неравенство примет вид: \( y^2 - 7y + 6 < 0 \>.
   Найдем корни квадратного уравнения \( y^2 - 7y + 6 = 0 \>.
   По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = 7 \) и \( y_1 \cdot y_2 = 6 \>.
   Корни: \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 6 \>.
   Неравенство \( y^2 - 7y + 6 < 0 \) выполняется при \( 1 < y < 6 \>.
   Подставляем обратно \( y = 6^x \>: \( 1 < 6^x < 6 \>.
   Представим 1 как \( 6^0 \> и \( 6 \) как \( 6^1 \>: \( 6^0 < 6^x < 6^1 \>.
   Поскольку основание 6 > 1, функция возрастает, сравниваем показатели: \( 0 < x < 1 \>.
   Ответ: \( x \in (0; 1) \).