11. На отрезке АВ выбрана точка С так, что АС = 60 и ВС = 1. Построена окружность с центром А, проходящая через С. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки В к этой окружности.

Решение:

В этой задаче мы имеем прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза — отрезок АВ, так как точка С лежит между А и В.
• Один катет — радиус окружности АС, так как окружность с центром А проходит через С.
• Второй катет — отрезок касательной, проведенной из точки В к окружности.

Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС:

\[ AB = AC + BC = 60 + 1 = 61 \]

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику:

\[ AC^2 + BC_{касательной}^2 = AB^2 \]

\[ 60^2 + BC_{касательной}^2 = 61^2 \]

\[ 3600 + BC_{касательной}^2 = 3721 \]

\[ BC_{касательной}^2 = 3721 - 3600 \]

\[ BC_{касательной}^2 = 121 \]

\[ BC_{касательной} = \sqrt{121} \]

\[ BC_{касательной} = 11 \]

Ответ: 11