11. Найдите \( \angle ABC \).

Решение:

Угол \( \angle ABC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \).

Дуга \( AC \) равна градусной мере центрального угла \( \angle AOC \), если \( O \) — центр окружности.

На рисунке \( O \) — центр окружности.

Центральный угол \( \angle AOC \) равен \( 360^{\circ} - \text{дуга } ABC \).

Угол \( \angle AMC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \).

Угол \( \angle ANC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( AC \).

Угол \( \angle ABC \) опирается на дугу \( AC \).

Угол \( \angle ADC \) опирается на дугу \( AC \).

Угол \( 38^{\circ} \) обозначен около точки \( N \), и указывает на угол \( \angle ANB \). Если \( \angle ANB = 38^{\circ} \), то дуга \( AB = 2 \times 38^{\circ} = 76^{\circ} \).

Угол \( 42^{\circ} \) обозначен около точки \( B \), и указывает на угол \( \angle ABM \).

Если \( \angle ABC = x \), то он опирается на дугу \( AC \).

Рассмотрим треугольник \( OAB \). \( OA = OB \) (радиусы).

Угол \( \angle AOB \) — центральный. \( \angle OAB = \angle OBA \).

Угол \( \angle AMB \) — вписанный, опирается на дугу \( AB \).

Угол \( \angle ANB \) — вписанный, опирается на дугу \( AB \).

Если \( 38^{\circ} \) — это дуга \( AB \), то \( \angle ANB = 38^{\circ} / 2 = 19^{\circ} \).

Если \( 38^{\circ} \) — это угол \( \angle AON \), то дуга \( AN = 38^{\circ} \). Тогда \( \angle ABN = 38^{\circ} / 2 = 19^{\circ} \).

Если \( 38^{\circ} \) — это угол \( \angle ONA \), то \( \triangle ONA \) равнобедренный, \( \angle OAN = 38^{\circ} \), \( \angle AON = 180 - 38 - 38 = 104^{\circ} \).

Предположим, что \( 38^{\circ} \) — это дуга \( AN \).

Угол \( 42^{\circ} \) обозначен около \( B \) и указывает на \( \angle ABC \).

Если \( \angle ABC = 42^{\circ} \), то дуга \( AC = 2 \times 42^{\circ} = 84^{\circ} \).

Угол \( 38^{\circ} \) обозначен около \( N \) и указывает на \( \angle ABN \).

Если \( \angle ABN = 38^{\circ} \), то дуга \( AN = 2 \times 38^{\circ} = 76^{\circ} \).

Угол \( x \) — это \( \angle AOC \) (центральный, опирается на дугу \( AC \)).

Дуга \( AC = 84^{\circ} \).

Тогда \( x = 84^{\circ} \).

Ответ: 42^{\(\circ\)}.