11. Перпендикуляр, проведенный из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол 28°. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

Задание 11. Угол ромба

Дано:

• Ромб.
• Перпендикуляр из точки пересечения диагоналей к стороне образует с диагональю угол 28°.

Найти: Острый угол ромба.

Решение:

1. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом (90°).
2. Точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам.
3. Рассмотрим треугольник, образованный половиной одной диагонали, половиной другой диагонали и стороной ромба. Этот треугольник прямоугольный.
4. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла (точки пересечения диагоналей) на гипотенузу (сторону ромба), делит этот прямоугольный треугольник на два меньших прямоугольных треугольника.
5. В одном из этих меньших треугольников, одна из диагоналей ромба является катетом, перпендикуляр к стороне — вторым катетом, а угол между этой диагональю и перпендикуляром равен 28°.
6. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°.
7. Пусть \( α \) — угол между стороной ромба и той диагональю, которая образует с перпендикуляром угол 28°. Этот угол \( α \) равен \( 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ \).
8. Этот угол \( α \) — половина одного из углов ромба (так как диагонали делят углы ромба пополам).
9. Значит, один из углов ромба равен \( 2 \times 62^\circ = 124^\circ \).
10. Это тупой угол ромба. Острый угол ромба равен \( 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ \).

Ответ: 56°.