11. При каких натуральных значениях $n$ значение выражения $\left(\frac{13n}{n-5}-n\right)\cdot\frac{n-5}{n^2}$ является натуральным числом?

Question

Вопрос: $Фото задания: 11. При каких натуральных значениях $n$ значение выражения $\left(\frac{13n}{n-5}-n\right)\cdot\frac{n-5}{n^2}$…$ Фото задания

11. При каких натуральных значениях $n$ значение выражения $\left(\frac{13n}{n-5}-n\right)\cdot\frac{n-5}{n^2}$ является натуральным числом?

Accepted Answer

Область допустимых значений: $n\ne5$; натуральное $n$ также не равно нулю.

Упростим выражение:

\[\left(\frac{13n}{n-5}-n\right)\cdot\frac{n-5}{n^2}=\frac{13n-n(n-5)}{n-5}\cdot\frac{n-5}{n^2}=\frac{n(18-n)}{n-5}\cdot\frac{n-5}{n^2}=\frac{18-n}{n}=\frac{18}{n}-1.\]

Чтобы это значение было натуральным, $\frac{18}{n}$ должно быть целым числом, то есть $n$ должно быть положительным делителем числа 18. Такие делители: 1, 2, 3, 6, 9, 18. При $n=18$ выражение равно нулю, а ноль не считается натуральным числом; $n=5$ не входит в ОДЗ.

Ответ: $n=1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9$. Если в используемом определении натуральных чисел ноль включён, следует добавить $n=18$.

11. При каких натуральных значениях \(n\) значение выражения \(\left(\frac{13n}{n-5}-n\right)\cdot\frac{n-5}{n^2}\) является натуральным числом?

Ответ: