11. При каких значениях x имеет смысл выражение: 1) а) √(3x); б) √(−2x); в) √(x²); г) √(−x³); 2) а) (x − 1)/√x; б) 3/√(−x); в) 1/(√x − 2); г) √x : √(−x)?

Для квадратного корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Если корень находится в знаменателе, его значение дополнительно не должно равняться нулю.

1. а) \(3x\ge0\), следовательно, \(x\ge0\).

   б) \(-2x\ge0\), следовательно, \(x\le0\).

   в) \(x^2\ge0\) при любом действительном x.

   г) \(-x^3\ge0\), следовательно, \(x\le0\).

2. а) Под корнем в знаменателе требуется \(x>0\).

   б) Требуется \(-x>0\), то есть \(x<0\).

   в) Нужно \(x\ge0\), а знаменатель не должен быть нулём: \(\sqrt{x}\ne2\), то есть \(x\ne4\). Итак, \(x\ge0,\ x\ne4\).

   г) Для обоих корней нужны условия \(x\ge0\) и \(-x\ge0\), откуда возможно только \(x=0\). Но тогда знаменатель \(\sqrt{-x}=0\), поэтому деление не определено. Допустимых значений нет.