11 Произведение корней уравнения log_{0,1} (x²-4) = 0 равно

Решение:

Для решения уравнения \( \log_{0.1} (x^2-4) = 0 \) воспользуемся определением логарифма: \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \).

В нашем случае \( a = 0.1 \), \( b = x^2-4 \), \( c = 0 \).

Следовательно, \( 0.1^0 = x^2-4 \).

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Поэтому:

\[ 1 = x^2-4 \]

Теперь решим полученное квадратное уравнение:

\[ x^2 = 1+4 \]

\[ x^2 = 5 \]

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два корня:

\[ x_1 = \sqrt{5} \]

\[ x_2 = -\sqrt{5} \]

Перед тем, как найти произведение корней, необходимо убедиться, что оба корня удовлетворяют условию существования логарифма, а именно: аргумент логарифма должен быть положительным.

Аргумент логарифма: \( x^2 - 4 > 0 \).

Проверим наши корни:

• Для \( x_1 = \sqrt{5} \): \( (\sqrt{5})^2 - 4 = 5 - 4 = 1 \). Так как \( 1 > 0 \), корень \( x_1 \) подходит.
• Для \( x_2 = -\sqrt{5} \): \( (-\sqrt{5})^2 - 4 = 5 - 4 = 1 \). Так как \( 1 > 0 \), корень \( x_2 \) подходит.

Оба корня подходят.

Теперь найдём произведение корней:

\[ x_1 \cdot x_2 = \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5}) = - (\sqrt{5})^2 = -5 \]

Ответ: -5