9 Уравнение 0,3^{2x-1} = 3^{-1} имеет корень из промежутка

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

\( 0.3^{2x-1} = 3^{-1} \)

\( (\frac{3}{10})^{2x-1} = \frac{1}{3} \)

Возьмем логарифм по основанию 3 от обеих частей уравнения:

\[ \log_3 \left( (\frac{3}{10})^{2x-1} \right) = \log_3 (3^{-1}) \]

\[ (2x-1) \log_3 (\frac{3}{10}) = -1 \]

\[ (2x-1) (\log_3 3 - \log_3 10) = -1 \]

\[ (2x-1) (1 - \log_3 10) = -1 \]

Разделим обе части на \( (1 - \log_3 10) \):

\[ 2x-1 = \frac{-1}{1 - \log_3 10} = \frac{1}{\log_3 10 - 1} \]

\[ 2x = 1 + \frac{1}{\log_3 10 - 1} = \frac{\log_3 10 - 1 + 1}{\log_3 10 - 1} = \frac{\log_3 10}{\log_3 10 - 1} \]

\[ x = \frac{\log_3 10}{2(\log_3 10 - 1)} \]

Оценим значение \( \log_3 10 \). Мы знаем, что \( \log_3 9 = 2 \) и \( \log_3 27 = 3 \). Следовательно, \( 2 < \log_3 10 < 3 \).

Пусть \( \log_3 10 \approx 2.1 \) (чтобы оценить промежуток).

\[ x \approx \frac{2.1}{2(2.1 - 1)} = \frac{2.1}{2(1.1)} = \frac{2.1}{2.2} \approx 0.95 \]

Теперь проверим, в какой промежуток попадает \( x \approx 0.95 \):

• 1) \( (-\infty;-2] \) — не входит.
• 2) \( (-2;-1] \) — не входит.
• 3) \( [1;+\infty) \) — не входит (0.95 < 1).
• 4) \( (-1;0] \) — не входит.
• 5) \( (0;1) \) — входит.

Ответ: 5) (0;1)