11. Решить уравнение: 6cos^2x + 7sinx - 7 = 0 и найти его корни, принадлежащие отрезку [π; 3π]

Решение:

1. Заменим \( \cos^2x \) на \( 1 - \sin^2x \) согласно основному тригонометрическому тождеству: \( 6(1 - \sin^2x) + 7\sin x - 7 = 0 \).
2. Раскроем скобки и приведём подобные члены: \( 6 - 6\sin^2x + 7\sin x - 7 = 0 \) ⇒ \( -6\sin^2x + 7\sin x - 1 = 0 \).
3. Умножим уравнение на -1 для удобства: \( 6\sin^2x - 7\sin x + 1 = 0 \).
4. Введём замену переменной: пусть \( t = \sin x \). Тогда получим квадратное уравнение: \( 6t^2 - 7t + 1 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 - 24 = 25 \).
6. Найдём корни \( t \): \( t_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 5}{12} = \frac{12}{12} = 1 \) и \( t_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 5}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \).
7. Вернёмся к замене: \( \sin x = 1 \) или \( \sin x = \frac{1}{6} \).
8. Для \( \sin x = 1 \) решением является \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
9. Для \( \sin x = \frac{1}{6} \) решениями являются \( x = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \) и \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
10. Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку \( [\pi; 3\pi] \).
11. Для \( \sin x = 1 \):
• Если \( k = 0 \), \( x = \frac{\pi}{2} \) (не входит в отрезок).
• Если \( k = 1 \), \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5\pi}{2} \) (входит в отрезок \( [\pi; 3\pi] \)).
• Если \( k = 2 \), \( x = \frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{9\pi}{2} \) (не входит в отрезок).
12. Для \( \sin x = \frac{1}{6} \):
• При \( k = 0 \): \( x = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \) (меньше \( \pi \), не входит) и \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \) (меньше \( \pi \), не входит).
• При \( k = 1 \): \( x = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi \) (входит в отрезок \( [\pi; 3\pi] \)) и \( x = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi = 3\pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \) (входит в отрезок \( [\pi; 3\pi] \)).
• При \( k = 2 \): \( x = \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) + 4\pi \) (больше \( 3\pi \), не входит).

Ответ: \( \frac{5\pi}{2} \), \( 2\pi + \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \), \( 3\pi - \arcsin\left(\frac{1}{6}\right) \).