13. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12 см, а высота боковой грани 15 см. Найдите боковое ребро.

Решение:

1. В правильной четырехугольной пирамиде основанием является квадрат. Высота пирамиды \( H = 12 \) см. Высота боковой грани (апофема) \( h_a = 15 \) см.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Пусть сторона основания равна \( a \). Тогда половина стороны основания равна \( \frac{a}{2} \). По теореме Пифагора: \( H^2 + (\frac{a}{2})^2 = h_a^2 \).
3. Подставим известные значения: \( 12^2 + (\frac{a}{2})^2 = 15^2 \) ⇒ \( 144 + \frac{a^2}{4} = 225 \).
4. Найдем \( \frac{a^2}{4} \): \( \frac{a^2}{4} = 225 - 144 = 81 \).
5. Найдем \( \frac{a}{2} \): \( \frac{a}{2} = \sqrt{81} = 9 \) см.
6. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и боковым ребром \( L \). По теореме Пифагора: \( H^2 + (\frac{a}{2})^2 = L^2 \).
7. Подставим известные значения: \( 12^2 + 9^2 = L^2 \) ⇒ \( 144 + 81 = L^2 \) ⇒ \( L^2 = 225 \).
8. Найдем боковое ребро \( L \): \( L = \sqrt{225} = 15 \) см.

Ответ: 15 см.