12. Найти интервалы возрастания и убывания функции y=x²+2x+3

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^2 + 2x + 3)' = 2x + 2 \).
2. Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, приравняем производную к нулю: \( 2x + 2 = 0 \).
3. Решим полученное уравнение: \( 2x = -2 \) ⇒ \( x = -1 \).
4. Эта точка делит числовую прямую на два интервала: \( (-\infty; -1) \) и \( (-1; +\infty) \).
5. Определим знак производной на каждом интервале:
• Возьмем \( x = -2 \) (из интервала \( (-\infty; -1) \)): \( y'(-2) = 2(-2) + 2 = -4 + 2 = -2 \). Так как \( y' < 0 \), на этом интервале функция убывает.
• Возьмем \( x = 0 \) (из интервала \( (-1; +\infty) \)): \( y'(0) = 2(0) + 2 = 2 \). Так как \( y' > 0 \), на этом интервале функция возрастает.

Ответ: функция убывает на интервале \( (-\infty; -1) \), возрастает на интервале \( (-1; +\infty) \).