Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Задача 11. Шарик в вертикальной петле
Дано:
- Радиус петли: \( R = 1 \) м.
- Ускорение свободного падения: \( g \approx 9.8 \) м/с2 (будем использовать для точности).
Найти: начальную высоту \( h \), с которой шарик должен начать движение, чтобы не оторваться в верхней точке петли.
Решение:
1. Условие отрыва в верхней точке петли:
Чтобы шарик не оторвался от петли в верхней точке, сила нормальной реакции опоры \( N \) должна быть больше или равна нулю. Минимальное условие, когда шарик только-только не отрывается, — это \( N = 0 \). В верхней точке на шарик действуют:
- Сила тяжести \( mg \) (направлена вниз).
- Сила нормальной реакции \( N \) (направлена вниз, так как петля давит на шарик).
Центростремительная сила \( F_{цс} \) создаётся суммой этих сил:
\[ N + mg = \frac{mv^2}{R} \]
При \( N = 0 \) получаем:
\[ mg = \frac{mv_{верх}^2}{R} \]
Отсюда выразим квадрат скорости в верхней точке:
\[ v_{верх}^2 = gR \]
2. Закон сохранения энергии:
Применим закон сохранения механической энергии к движению шарика от начальной высоты \( h \) до верхней точки петли. Начальная скорость равна нулю.
Энергия в начальной точке (высота \( h \)): \( E_{начальная} = mgh \) (кинетическая энергия \( \frac{mv_0^2}{2} = 0 \)).
Энергия в верхней точке (высота \( 2R \)): \( E_{верхняя} = \frac{1}{2}mv_{верх}^2 + mg(2R) \).
По закону сохранения энергии:
\[ E_{начальная} = E_{верхняя} \]
\[ mgh = \frac{1}{2}mv_{верх}^2 + 2mgR \]
Сократим массу \( m \) (если она не равна нулю):
\[ gh = \frac{1}{2}v_{верх}^2 + 2gR \]
3. Подстановка и вычисление:
Теперь подставим выражение для \( v_{верх}^2 \) из первого шага в уравнение сохранения энергии:
\[ gh = \frac{1}{2}(gR) + 2gR \]
\[ gh = \frac{1}{2}gR + 2gR \]
\[ gh = \frac{5}{2}gR \]
Сократим \( g \) (если \( g \) не равно нулю):
\[ h = \frac{5}{2}R \]
Подставим значение радиуса \( R = 1 \) м:
\[ h = \frac{5}{2} · 1 \text{ м} = 2.5 \text{ м} \]
Ответ: Шарик должен начать движение с высоты 2.5 м.
