11. Тип 11 № 11 i Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала 30 приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За 15 дней она сделала всего 975 приседаний. Сколько приседаний сделала Вика в пятый день?

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию, так как количество приседаний увеличивалось на одно и то же число каждый день.

Дано:

• Первый член прогрессии (приседаний в первый день) \( a_1 = 30 \)
• Количество дней (членов прогрессии) \( n = 15 \)
• Сумма всех приседаний за 15 дней \( S_{15} = 975 \)
• Разность прогрессии \( d = 1 \) (так как каждый день делалось на 1 приседание больше)

Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d) \]

Подставим известные значения:

\[ 975 = \frac{15}{2} (2 \cdot 30 + (15-1) \cdot 1) \]

\[ 975 = \frac{15}{2} (60 + 14) \]

\[ 975 = \frac{15}{2} (74) \]

\[ 975 = 15 \cdot 37 \]

\[ 975 = 555 \]

Полученное значение \( 555 \) не совпадает с данной суммой \( 975 \). Это означает, что увеличение количества приседаний в день было не 1, а другое число. Давайте найдем это число. Обозначим разность прогрессии как \( d \).

Формула для суммы \( n \) членов арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \)

Подставим известные значения: \( a_1 = 30, n = 15, S_{15} = 975 \).

\[ 975 = \frac{15}{2}(2 \cdot 30 + (15-1)d) \]

\[ 975 = \frac{15}{2}(60 + 14d) \]

Умножим обе стороны на 2:

\[ 1950 = 15(60 + 14d) \]

Разделим обе стороны на 15:

\[ \frac{1950}{15} = 60 + 14d \]

\[ 130 = 60 + 14d \]

Вычтем 60 из обеих сторон:

\[ 130 - 60 = 14d \]

\[ 70 = 14d \]

Найдем \( d \):

\[ d = \frac{70}{14} = 5 \]

Итак, каждый день Вика делала на 5 приседаний больше.

Теперь найдем, сколько приседаний сделала Вика в пятый день. Используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Нам нужно найти \( a_5 \) (приседания в пятый день):

\[ a_5 = 30 + (5-1) \cdot 5 \]

\[ a_5 = 30 + 4 \cdot 5 \]

\[ a_5 = 30 + 20 \]

\[ a_5 = 50 \]

Ответ: 50