11 Тип 11 № 1718 Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалась 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.

Решение:

1. Пусть \( v_1 \) — скорость первого бегуна (км/ч), а \( v_2 \) — скорость второго бегуна (км/ч).
2. Из условия известно, что \( v_1 = v_2 - 8 \).
3. За один час первый бегун прошёл \( v_1 \) км, а второй — \( v_2 \) км.
4. Из условия, что первому бегуну до конца первого круга оставалось 1 км, а второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад, можно сделать вывод, что за 1 час второй бегун прошёл на 1 км больше, чем первый, так как он закончил круг раньше.
5. То есть, \( v_2 = v_1 + 1 \).
6. Подставим это в первое уравнение: \( v_1 = (v_1 + 1) - 8 \).
7. \( v_1 = v_1 - 7 \). Это равенство неверно.
8. Перечитаем условие. \(v_1\) — скорость первого, \(v_2\) — скорость второго. \(v_1 = v_2 - 8\).
9. Первый бегун за 1 час прошёл \(v_1\) км.
10. Второй бегун за 1 час прошёл \(v_2\) км.
11. Когда первому оставалось 1 км до конца круга, он прошёл \( S - 1 \) км, где \( S \) — длина круга.
12. Второй бегун прошёл круг 20 минут назад. Это значит, что второй бегун за 1 час прошёл \( S \) км.
13. Значит, \( v_2 = S \) км/ч.
14. Время, за которое первый бегун прошёл \( S - 1 \) км, равно 1 часу.
15. \( S - 1 = v_1 \times 1 \).
16. \( S - 1 = v_1 \).
17. \( S = v_1 + 1 \).
18. Так как \( v_2 = S \), то \( v_2 = v_1 + 1 \).
19. Подставим это в уравнение \( v_1 = v_2 - 8 \):
20. \( v_1 = (v_1 + 1) - 8 \)
21. \( v_1 = v_1 - 7 \)
22. Это снова неверно.
23. Попробуем переформулировать.
24. Пусть \( S \) - длина круга.
25. \( v_1 \) - скорость первого, \( v_2 \) - скорость второго.
26. \( v_1 = v_2 - 8 \).
27. За 1 час первый прошёл \( v_1 \) км.
28. За 1 час второй прошёл \( v_2 \) км.
29. Второй прошёл 1 круг за \( T_2 = \frac{S}{v_2} \) часов.
30. Первый прошёл 1 круг за \( T_1 = \frac{S}{v_1} \) часов.
31. Второй закончил круг на 20 минут (\( \frac{1}{3} \) часа) раньше. \( T_1 = T_2 + \frac{1}{3} \).
32. \( \frac{S}{v_1} = \frac{S}{v_2} + \frac{1}{3} \).
33. Когда прошёл 1 час:
34. Первый прошёл \( v_1 \) км. Ему осталось \( S - v_1 \) км до конца круга.
35. Из условия: \( S - v_1 = 1 \) км.
36. Значит, \( S = v_1 + 1 \).
37. Подставим \( S \) в уравнение \( \frac{S}{v_1} = \frac{S}{v_2} + \frac{1}{3} \):
38. \( \frac{v_1 + 1}{v_1} = \frac{v_1 + 1}{v_2} + \frac{1}{3} \).
39. \( 1 + \frac{1}{v_1} = \frac{v_1 + 1}{v_2} + \frac{1}{3} \).
40. Также знаем, что \( v_1 = v_2 - 8 \), значит \( v_2 = v_1 + 8 \).
41. Подставим \( v_2 \):
42. \( 1 + \frac{1}{v_1} = \frac{v_1 + 1}{v_1 + 8} + \frac{1}{3} \).
43. \( \frac{1}{v_1} - \frac{1}{3} = \frac{v_1 + 1}{v_1 + 8} - 1 \).
44. \( \frac{3 - v_1}{3v_1} = \frac{v_1 + 1 - (v_1 + 8)}{v_1 + 8} \).
45. \( \frac{3 - v_1}{3v_1} = \frac{-7}{v_1 + 8} \).
46. \( (3 - v_1)(v_1 + 8) = -7(3v_1) \).
47. \( 3v_1 + 24 - v_1^2 - 8v_1 = -21v_1 \).
48. \( -v_1^2 - 5v_1 + 24 = -21v_1 \).
49. \( -v_1^2 + 16v_1 + 24 = 0 \).
50. \( v_1^2 - 16v_1 - 24 = 0 \).
51. Найдем дискриминант: \( D = (-16)^2 - 4(1)(-24) = 256 + 96 = 352 \).
52. \( \sqrt{352} = \sqrt{16 \cdot 22} = 4\sqrt{22} \).
53. \( v_1 = \frac{16 \pm 4\sqrt{22}}{2} = 8 \pm 2\sqrt{22} \).
54. Скорость не может быть отрицательной, а \( 8 - 2\sqrt{22} \) отрицательно, т.к. \( 8 = \sqrt{64} \) и \( 2\sqrt{22} = \sqrt{4 \cdot 22} = \sqrt{88} \).
55. \( v_1 = 8 + 2\sqrt{22} \) км/ч.
56. Проверим условие: \( v_2 = v_1 + 8 = 16 + 2\sqrt{22} \) км/ч.
57. \( S = v_1 + 1 = 9 + 2\sqrt{22} \) км.
58. \( T_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{9 + 2\sqrt{22}}{8 + 2\sqrt{22}} \).
59. \( T_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{9 + 2\sqrt{22}}{16 + 2\sqrt{22}} \).
60. \( T_1 - T_2 = \frac{1}{3} \).
61. \( \frac{9 + 2\sqrt{22}}{8 + 2\sqrt{22}} - \frac{9 + 2\sqrt{22}}{16 + 2\sqrt{22}} = \frac{1}{3} \).
62. \( (9 + 2\sqrt{22}) \left( \frac{1}{8 + 2\sqrt{22}} - \frac{1}{16 + 2\sqrt{22}} \right) = \frac{1}{3} \).
63. \( \frac{16 + 2\sqrt{22} - (8 + 2\sqrt{22})}{(8 + 2\sqrt{22})(16 + 2\sqrt{22})} \).
64. \( \frac{8}{(8 + 2\sqrt{22})(16 + 2\sqrt{22})} \).
65. \( (9 + 2\sqrt{22}) \frac{8}{(8 + 2\sqrt{22})(16 + 2\sqrt{22})} = \frac{1}{3} \).
66. \( \frac{8(9 + 2\sqrt{22})}{(8 + 2\sqrt{22})(16 + 2\sqrt{22})} = \frac{1}{3} \).
67. \( \frac{8(9 + 2\sqrt{22})}{128 + 16\sqrt{22} + 32\sqrt{22} + 88} = \frac{1}{3} \).
68. \( \frac{72 + 16\sqrt{22}}{216 + 48\sqrt{22}} = \frac{1}{3} \).
69. \( \frac{8(9 + 2\sqrt{22})}{24(9 + 2\sqrt{22})} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3} \).
70. Равенство верно.

Ответ: \( 8 + 2\sqrt{22} \) км/ч.