11. Точка M - середина боковой стороны CD трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольник ABM равна половине площади трапеции.

Пусть h - высота трапеции ABCD. Площадь трапеции ABCD равна S(ABCD) = (AD+BC)/2 * h. Проведем высоту из точки M к основанию AD, назовем ее MH. Так как M - середина боковой стороны, MH = h/2. Площадь треугольника ABM будет состоять из суммы площадей треугольников ADM и ABM. Поскольку M-середина CD, площадь треугольника ADM = 1/2 * AD * h/2. Площадь треугольника ABM = S(ABCD) - S(BCM) - S(ADM). Площадь треугольника BCM= 1/2 * BC * h/2. S(ABM) = S(ABCD)-1/4 * AD*h - 1/4*BC*h = (1/2 * (AD+BC) *h) - 1/4 * (AD+BC) *h = 1/4*(AD+BC)*h. Или площадь треугольника ABM=1/2 * (AD+BC)/2 * h = 1/2 * S(ABCD). Что и требовалось доказать.