11. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена медиана CM к гипотенузе AB. Найдите угол BCM, если ∠A = 35°.

В прямоугольном треугольнике ABC \( ∠ C = 90° \). Сумма острых углов равна 90°:

\( ∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 35° = 55° \).

CM - медиана, проведенная к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, \( AM = BM = CM \).

Рассмотрим треугольник \( △ AMC \). Так как \( AM = CM \), то этот треугольник равнобедренный. Углы при основании равны:

\( ∠ ACM = ∠ A = 35° \).

Теперь найдем угол BCM:

\( ∠ BCM = ∠ ACB - ∠ ACM \)

\( ∠ BCM = 90° - 35° \)

\( ∠ BCM = 55° \).

Ответ: \( 55° \)