11. В равнобедренном треугольнике СМК с основанием СК проведена высота МН. Докажите равенство треугольников СМН и КМН.

Дано:

• Треугольник СМК – равнобедренный с основанием СК.
• МН – высота.

Доказать:

• ∆CMH = ∆KMH

Решение:

1. Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. В нашем случае, так как основание СК, то боковые стороны СМ и КМ равны: СМ = КМ.
2. Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. МН является высотой, значит, угол МНС и угол МНК – прямые (по 90 градусов).
3. Рассмотрим треугольники ∆CMH и ∆KMH:
• Сторона МН – общая для обоих треугольников.
• Углы ∠CMH и ∠KMH равны, потому что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является и медианой, и биссектрисой. Следовательно, она делит угол ∠CMK пополам.
• Стороны СМ и КМ равны, как боковые стороны равнобедренного треугольника (СМ = КМ).
4. По двум сторонам и углу между ними (′сторона-угол-сторона′, или СУС), треугольники ∆CMH и ∆KMH равны.
5. Также можно доказать равенство по гипотенузе и острому углу (гипотенуза-угол, или ГУ), так как ∠CMH = ∠KMH (как половина ∠CMK) и ∠MHC = ∠MHK = 90°.

Что и требовалось доказать.