12. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ проведена медиана СМ. Докажите равенство треугольников АСМ и ВСМ.

Дано:

• Треугольник АВС – равнобедренный с основанием АВ.
• СМ – медиана.

Доказать:

• ∆ACM = ∆BCM

Решение:

1. Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. Так как основание АВ, то боковые стороны АС и ВС равны: АС = ВС.
2. Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. СМ – медиана, значит, точка М является серединой стороны АВ. Следовательно, АМ = ВМ.
3. Рассмотрим треугольники ∆ACM и ∆BCM:
• Сторона АС равна стороне ВС (по условию, так как ∆ABC – равнобедренный).
• Сторона АМ равна стороне ВМ (по условию, так как СМ – медиана).
• Сторона СМ – общая для обоих треугольников.
4. По трем сторонам (′сторона-сторона-сторона′, или ССС), треугольники ∆ACM и ∆BCM равны.
5. Также равенство можно доказать по двум сторонам и углу между ними (′сторона-угол-сторона′, или СУС), так как ∠CAB = ∠CBA (углы при основании равнобедренного ∆ABC), АС = ВС и СМ – общая сторона.

Что и требовалось доказать.