11. В равнобедренной трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне, угол A равен 60°, AD = 24 см, BC = 12 см. Найдите периметр трапеции.

Считаем, что основания трапеции — AD и BC, а боковые стороны — AB и CD. Разность оснований равна \(24-12=12\) см. В равнобедренной трапеции смещение каждого конца меньшего основания относительно большего равно половине разности оснований: \(12:2=6\) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник у вершины A. Проекция стороны AB на основание AD равна 6 см, а угол A равен 60°. Тогда \(\cos 60^\circ=\frac{6}{AB}\), следовательно, \(AB=12\) см. Так как трапеция равнобедренная, \(CD=12\) см.

Условие о перпендикулярности согласуется с этими данными: высота трапеции равна \(\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}\) см; при координатах \(A(0,0), B(6,6\sqrt{3}), D(24,0)\) векторы \(\overrightarrow{AB}=(6,6\sqrt{3})\) и \(\overrightarrow{BD}=(18,-6\sqrt{3})\) имеют скалярное произведение \(108-108=0\), то есть \(BD\perp AB\).

Периметр: \(P=AD+BC+AB+CD=24+12+12+12=60\) см.

Ответ: 60 см.