11. В треугольнике АВС известно, что АВ = BC, ∠ABC = 108°. Найдите угол ВСА. Ответ дайте в градусах.

Задание 11. Равнобедренный треугольник

Дано:

• Треугольник \( \triangle ABC \)
• \( AB = BC \) (треугольник равнобедренный)
• \( \angle ABC = 108^{\circ} \)

Найти: \( \angle BCA \)

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В нашем случае основанием является сторона \( AC \), так как стороны \( AB \) и \( BC \) равны. Значит, углы при основании — это \( \angle BAC \) и \( \angle BCA \).

Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.

\[ \angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^{\circ} \]

Так как \( \angle BAC = \angle BCA \), мы можем записать:

\[ 2 \cdot \angle BCA + \angle ABC = 180^{\circ} \]

Теперь подставим известное значение \( \angle ABC \):

\[ 2 \cdot \angle BCA + 108^{\circ} = 180^{\circ} \]

Вычтем 108° из обеих частей уравнения:

\[ 2 \cdot \angle BCA = 180^{\circ} - 108^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle BCA = 72^{\circ} \]

Разделим обе части на 2:

\[ \angle BCA = \frac{72^{\circ}}{2} \]

\[ \angle BCA = 36^{\circ} \]

Ответ: Угол ВСА равен 36°.