11. Вычислите градусные меры неизвестных углов параллелограмма (рис. 25). 1) Параллелограмм NPKM; точка F лежит на стороне PK, проведён отрезок NF; ∠PNF = 15°, NF ⟂ PK. 2) Параллелограмм ABCD; BF ⟂ AD, точка F лежит на AD; AB = CD (отмечено одинаковыми штрихами), а BC = FD (отмечено одинаковыми штрихами); проведена диагональ BD. 3) Параллелограмм PKNF; точка T лежит на стороне PF, проведён отрезок TN; ∠PTN = 90°, ∠TNF = 40°. Найдите отмеченные неизвестные углы.

1) Так как NF ⟂ PK, то ∠NFP = 90°. В треугольнике NPF сумма углов равна 180°:

∠NPF = 180° − 90° − 15° = 75°.

Смежный с ним внутренний угол параллелограмма при вершине P равен ∠NPK = 180° − 75° = 105°. Противоположный угол при M равен 105°, а соседние углы при N и K — по 75°.

2) По отметкам AB = CD и BC = FD. В параллелограмме AB = CD и BC = AD, значит AD = FD. Следовательно, F — середина AD. Поскольку BF ⟂ AD, прямая BF является серединным перпендикуляром к AD, поэтому BA = BD. Треугольник ABD равнобедренный, а BF, проведённая к середине основания AD, также биссектриса угла B. Так как BC ∥ AD и BF ⟂ AD, ∠FBC = 90°. Поэтому ∠ABF = ∠FBD = 45°. Угол ABD равен 90°, значит противоположный угол D тоже 90°, а углы A и C — по 90°.

3) В треугольнике TFN: ∠FTN = 90° и ∠TNF = 40°, поэтому ∠TFN = 180° − 90° − 40° = 50°. Поскольку T лежит на PF, угол параллелограмма при P равен 90°; следовательно, весь угол между PT и PN также 90°. Тогда ∠TPN = 90° − 50° = 40°. Соседний угол при F равен 90°, а противоположный угол при K — 90°; угол при N равен 90°.

Ответ: 1) ∠NPF = 75°, углы параллелограмма при N и K — 75°, при P и M — 105°; 2) отмеченные углы ∠ABF и ∠FBD — по 45°, углы параллелограмма — по 90°; 3) ∠TFN = 50°, ∠TPN = 40°, углы параллелограмма — по 90°.