11. Выписаны первые три члена геометрической прогрессии: 3; -12; 48; ... Найдите сумму первых пяти её членов.

Решение:

Дано: первые три члена геометрической прогрессии: \(b_1 = 3\), \(b_2 = -12\), \(b_3 = 48\).

Найти: сумму первых пяти членов \(S_5\).

Сначала найдём знаменатель прогрессии \(q\):

\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-12}{3} = -4\)

Проверим:

\(q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{48}{-12} = -4\)

Знаменатель прогрессии \(q = -4\).

Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:

\[ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \]

Найдём сумму первых пяти членов \(S_5\):

\[ S_5 = \frac{3(1 - (-4)^5)}{1 - (-4)} \]

\[ S_5 = \frac{3(1 - (-1024))}{1 + 4} \]

\[ S_5 = \frac{3(1 + 1024)}{5} \]

\[ S_5 = \frac{3 · 1025}{5} \]

\[ S_5 = 3 · 205 = 615 \]

Ответ: 615