11. Высота равнобедренной трапеции ABCD равна 12, а её диагонали перпендикулярны. Найдите боковую сторону AB трапеции, если её периметр равен 54.

Обозначим основания трапеции через a и b, а высоту h = 12. В равнобедренной трапеции горизонтальная проекция каждой диагонали равна половине суммы оснований, то есть (a + b) / 2. Перпендикулярность диагоналей означает, что произведение их наклонов равно −1; отсюда ((a + b) / 2)² = h², поэтому a + b = 24.

Из периметра 54 получаем: a + b + 2AB = 54, значит, 24 + 2AB = 54 и AB = 15.

Ответ: 15.