110. Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 4 м, то его площадь увеличится на 32 м². Найдите первоначальные длину и ширину прямоугольника.

Привет! Давай разберемся с этой задачей. Будем использовать переменные, чтобы все было понятно.

Обозначения:

• Пусть x — первоначальная ширина прямоугольника (в метрах).
• Тогда первоначальная длина будет 2x (потому что она в 2 раза больше ширины).

Первоначальная площадь:

• Площадь = длина × ширина
• \(S_1 = 2x \times x = 2x^2\) (в квадратных метрах)

Новые размеры:

• Ширина увеличилась на 4 м, значит, новая ширина = x + 4.
• Длина осталась прежней = 2x.

Новая площадь:

• \(S_2 = (x+4) \times 2x = 2x^2 + 8x\) (в квадратных метрах)

Условие задачи:

• Новая площадь больше первоначальной на 32 м². Это значит:
• \(S_2 = S_1 + 32\)
• Подставляем наши выражения для площадей:
• \(2x^2 + 8x = 2x^2 + 32\)

Решаем полученное уравнение:

1. Вычитаем \(2x^2\) из обеих частей уравнения: \(8x = 32\).
2. Делим обе части на 8: \(x = \frac{32}{8}\)
3. \(x = 4\)

Находим первоначальные размеры:

• Первоначальная ширина (x) = 4 метра.
• Первоначальная длина (2x) = 2 × 4 = 8 метров.

Проверка:

• Первоначальная площадь = 4 м × 8 м = 32 м².
• Новая ширина = 4 м + 4 м = 8 м.
• Новая длина = 8 м.
• Новая площадь = 8 м × 8 м = 64 м².
• Разница в площадях: 64 м² - 32 м² = 32 м². Все верно!

Ответ: Первоначальная ширина прямоугольника — 4 м, первоначальная длина — 8 м.