110. Средняя линия трапеции равна 16 см, а периметр — 64 см. Докажите, что в данную трапецию можно вписать окружность.

Привет! Давай докажем это свойство трапеции.

Дано:

• Средняя линия трапеции m = 16 см.
• Периметр трапеции P = 64 см.

Нужно доказать:

• В трапецию можно вписать окружность.

Решение:

1. Свойства средней линии трапеции: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны a и b. Тогда:
\[ m = \frac{a + b}{2} \]
2. Находим сумму оснований: Из условия известно, что m = 16 см. Подставляем это значение в формулу:
\[ 16 = \frac{a + b}{2} \]
3. Умножаем обе части на 2, чтобы найти сумму оснований:
\[ a + b = 16 \times 2 = 32 \text{ см} \]
4. Свойства периметра трапеции: Периметр трапеции — это сумма всех ее сторон. Пусть боковые стороны равны c и d. Тогда:
\[ P = a + b + c + d \]
5. Используем данное значение периметра: По условию, P = 64 см. Подставляем известные значения:
\[ 64 = (a + b) + (c + d) \] \[ 64 = 32 + (c + d) \]
6. Находим сумму боковых сторон:
\[ c + d = 64 - 32 = 32 \text{ см} \]
7. Проверяем условие вписывания окружности: В четырехугольник (в том числе и в трапецию) можно вписать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных сторон равна. В нашем случае это означает, что сумма оснований должна быть равна сумме боковых сторон:
\[ a + b = c + d \]
8. Сравниваем полученные суммы: Мы нашли, что a + b = 32 см и c + d = 32 см.
\[ 32 \text{ см} = 32 \text{ см} \]
9. Вывод: Поскольку сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в данную трапецию можно вписать окружность.

Доказано!