111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 12 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 64 см.

Привет! Давай решим эту задачку с равнобокой трапецией.

Дано:

• Равнобокая трапеция.
• В нее вписана окружность.
• Точка касания делит боковую сторону на отрезки, один из которых равен 12 см.
• Периметр трапеции P = 64 см.

Найти:

• Основания трапеции (a и b).

Решение:

1. Свойства равнобокой трапеции и вписанной окружности:
• В равнобокой трапеции боковые стороны равны. Пусть боковая сторона c.
• Точка касания вписанной окружности делит боковую сторону на два отрезка. В равнобокой трапеции эти отрезки будут иметь одну и ту же длину, если точка касания находится ровно посередине. Но! Точка касания делит боковую сторону на отрезки, один из которых прилегает к основанию, а другой — к другому основанию.
• Важное свойство: в трапеции, в которую вписана окружность, точка касания делит боковую сторону на отрезки, равные полусуммам оснований, примыкающих к этой стороне.
• Пусть основания трапеции — a (большее) и b (меньшее). Боковая сторона — c.
• Тогда отрезки, на которые точка касания делит боковую сторону, равны a/2 и b/2.
• По условию, один из этих отрезков равен 12 см.
• Это значит, что либо a/2 = 12, либо b/2 = 12.
• Но! Мы знаем, что a > b, поэтому a/2 > b/2. Следовательно, больший отрезок соответствует большему основанию.
• Значит, a/2 = 12 см, откуда a = 2 * 12 = 24 см.
2. Используем периметр:
• Периметр трапеции P = a + b + 2c (так как трапеция равнобокая, обе боковые стороны равны c).
• Нам известно, что P = 64 см.
• Также, для трапеции, в которую можно вписать окружность, выполняется условие: сумма оснований равна сумме боковых сторон.
\[ a + b = 2c \]
• Подставим это в формулу периметра:
\[ P = (a + b) + 2c = 2c + 2c = 4c \]
• Теперь найдем длину боковой стороны c:
\[ 64 = 4c \] \[ c = \frac{64}{4} = 16 \text{ см} \]
• Проверяем отрезок боковой стороны:
• Теперь мы знаем, что боковая сторона c = 16 см.
• Мы также знаем, что точка касания делит боковую сторону на отрезки a/2 и b/2.
• Мы уже нашли a/2 = 12 см.
• Значит, другой отрезок равен b/2 = c - a/2 = 16 - 12 = 4 см.
• Отсюда находим меньшее основание b:
\[ b/2 = 4 \text{ см} \] \[ b = 2 \times 4 = 8 \text{ см} \]
3. Проверяем условие суммы оснований и боковых сторон:
\[ a + b = 24 + 8 = 32 \text{ см} \] \[ 2c = 2 \times 16 = 32 \text{ см} \] \[ a + b = 2c \] Условие выполняется.

Ответ:

Основания трапеции равны 24 см и 8 см.