111. Точка касания окружности, вписанной в равнобокую трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, один из которых равен 5 см. Найдите основания трапеции, если её периметр равен 56 см.

Краткая запись:

• Трапеция равнобокая, вписана окружность.
• Боковая сторона (b) делится точкой касания на отрезки: 5 см и x см.
• Периметр (P): 56 см
• Найти: Основания (a, c) — ?

Пошаговое решение:

1. Свойство касательных: Из точки, не лежащей на окружности, к ней можно провести две касательные. Длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны.
2. Равнобокая трапеция и вписанная окружность: В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, точка касания делит боковую сторону. Пусть боковая сторона равна \(b\). Точка касания делит ее на два отрезка. Обозначим их \(x_1\) и \(x_2\). Тогда \(b = x_1 + x_2\).
3. Связь с основаниями: Пусть отрезки, на которые делится боковая сторона, равны 5 см и \(x\) см. В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, отрезок, прилежащий к меньшему основанию, равен меньшему основанию, а отрезок, прилежащий к большему основанию, равен большему основанию, если касательная является высотой, что бывает только в прямоугольной трапеции. В общем случае, если точка касания делит боковую сторону на отрезки \(x_1\) и \(x_2\), то одно основание равно \(x_1 + x_2\) (в случае прямоугольной трапеции, где боковая сторона является высотой), или \(x_1+x_1\) и \(x_2+x_2\) если считать от вершин. В равнобокой трапеции, если точку касания обозначить K, а вершины боковой стороны A и B, то AK = 5 см. Тогда KB = \(x\) см. Длина боковой стороны \(b = 5 + x\).
4. Условие вписанной окружности: Для того чтобы окружность можно было вписать в трапецию, сумма оснований должна быть равна сумме боковых сторон: \(a + c = b + b = 2b\).
5. Периметр: Периметр P = \(a + c + b + b\). Дано \(P = 56\) см.
6. Подстановка: \(P = 2b + 2b = 4b\).
7. Находим боковую сторону: \(4b = 56\) см, следовательно, \(b = \frac{56}{4} = 14\) см.
8. Находим отрезки боковой стороны: Боковая сторона равна 14 см. Один отрезок равен 5 см. Пусть \(x_1 = 5\) см. Тогда второй отрезок \(x_2 = b - x_1 = 14 - 5 = 9\) см.
9. Связь отрезков с основаниями: В равнобокой трапеции, в которую вписана окружность, точка касания делит боковую сторону таким образом, что отрезок, прилежащий к основанию, равен половине этого основания, если боковая сторона является высотой (прямоугольная трапеция). В общем случае, если боковая сторона делится на отрезки \(x_1\) и \(x_2\), то основания равны \(a = x_1 + x_1'\) и \(c = x_2 + x_2'\), где \(x_1'\) и \(x_2'\) — отрезки от вершин до точки касания на основании. В равнобокой трапеции, точка касания окружности делит боковую сторону на отрезки \(x_1\) и \(x_2\). Длина основания, к которому прилежит отрезок \(x_1\) равна \(2x_1\), а основание, к которому прилежит отрезок \(x_2\) равно \(2x_2\), при условии, что касательная из вершины является высотой. Более корректно: Если точка касания делит боковую сторону на отрезки \(x_1\) и \(x_2\), то основания трапеции равны \(a = x_1 + x_1\) и \(c = x_2 + x_2\) где \(x_1\) и \(x_2\) - отрезки касательных от вершины до точки касания. В равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность, одно основание будет равно \(2 \cdot x_1\), а другое \(2 \cdot x_2\) если \(x_1\) и \(x_2\) - отрезки от вершины до точки касания. Так как один из отрезков равен 5 см, а другой 9 см, то основания равны \(2 imes 5 = 10\) см и \(2 imes 9 = 18\) см.
10. Проверка: Периметр = \(10 + 18 + 14 + 14 = 56\) см. Сумма оснований = \(10 + 18 = 28\) см. Сумма боковых сторон = \(14 + 14 = 28\) см. Условие \(a+c = b+b\) выполняется.

Ответ: Основания трапеции равны 10 см и 18 см.