111.3. 1) Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник, периметр которого равен \(16(2+\sqrt{2})\) см. Найдите площадь полной поверхности этого конуса.

Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник. Если он прямоугольный, прямой угол находится между равными сторонами, то есть образующими конуса. Пусть каждая из них равна \(l\). Тогда гипотенуза, являющаяся диаметром основания, равна \(l\sqrt{2}\).

По периметру сечения: \(2l+l\sqrt{2}=16(2+\sqrt{2})\). Отсюда \(l=16\) см. Значит, диаметр основания равен \(16\sqrt{2}\) см, а радиус \(r=8\sqrt{2}\) см.

\(S=\pi r l+\pi r^2=\pi\cdot8\sqrt{2}\cdot16+\pi(8\sqrt{2})^2=128\sqrt{2}\pi+128\pi\).

Ответ: \(128\pi(1+\sqrt{2})\) см².