111. Найдите область значений функции: а) y = sin x − √3 cos x; б) y = 3/(1 + tg² x); в) y = √(1 − cos 4x); г) y = 2/(1 + ctg² x).

Преобразуем выражение: \(\sin x-\sqrt3\cos x=2\sin(x-\pi/3)\). Так как значения синуса лежат от −1 до 1, область значений — [−2; 2].

При допустимых значениях \(x\) используем тождество \(1+ g^2x=1/\cos^2x\): \(y=3\cos^2x\). Здесь \(\cos x\ne0\), поэтому \(0<\cos^2x\le1\). Область значений — (0; 3].

Поскольку \(−1\le\cos4x\le1\), имеем \(0\le1-\cos4x\le2\). После извлечения корня получаем область значений [0; \(\sqrt\)2].

На области определения \(\ctg x\) имеем \(\sin x\ne0\), а \(1+\ctg^2x=1/\sin^2x\). Следовательно, \(y=2\sin^2x\), где \(0<\sin^2x\le1\). Область значений — (0; 2].