112. a) \(\frac{2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19}}{9^9}\)

Решение:

1. В числителе вынесем общий множитель \(3^{19}\): \(2 \cdot 3^{20} - 5 \cdot 3^{19} = 3^{19} \cdot (2 \cdot 3^1 - 5)\)
2. Упростим выражение в скобках: \(3^{19} \cdot (6 - 5) = 3^{19} \cdot 1 = 3^{19}\)
3. Знаменатель представим как степень тройки: \(9^9 = (3^2)^9\)
4. Применим свойство степени \((a^m)^n = a^{mn}\): \((3^2)^9 = 3^{2 · 9} = 3^{18}\)
5. Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь: \(\frac{3^{19}}{3^{18}}\)
6. Применим свойство степени \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(3^{19-18} = 3^1\)
7. Вычислим: \(3\)

Ответ: 3