1131. Постройте график функции и перечислите её свойства: a) y = 3/x; б) y = -4/x.

Решение:

a) y = 3/x

1. График:

Это гипербола. Ветви гиперболы расположены в первом и третьем квадрантах, так как коэффициент (3) положительный. Асимптоты: ось Ox (y=0) и ось Oy (x=0).

2. Свойства:

• Область определения: x ≠ 0 (все действительные числа, кроме нуля).
• Область значений: y ≠ 0 (все действительные числа, кроме нуля).
• Монотонность: Функция возрастает на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞).
• Четность/Нечетность: Функция нечетная, так как f(-x) = 3/(-x) = -3/x = -f(x). График симметричен относительно начала координат.
• Пересечение с осями: График не пересекает оси координат.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота - ось Oy (x=0), горизонтальная асимптота - ось Ox (y=0).

б) y = -4/x

1. График:

Это гипербола. Ветви гиперболы расположены во втором и четвертом квадрантах, так как коэффициент (-4) отрицательный. Асимптоты: ось Ox (y=0) и ось Oy (x=0).

2. Свойства:

• Область определения: x ≠ 0.
• Область значений: y ≠ 0.
• Монотонность: Функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, +∞).
• Четность/Нечетность: Функция нечетная, так как f(-x) = -4/(-x) = 4/x = -f(x). График симметричен относительно начала координат.
• Пересечение с осями: График не пересекает оси координат.
• Асимптоты: Вертикальная асимптота - ось Oy (x=0), горизонтальная асимптота - ось Ox (y=0).