114. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена медиана AM. Найдите AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABM равен 24 см.

Обозначим AB = AC = x, BM = MC = y. Так как AM — медиана, BC = 2y.

Из периметра ABC получаем: 2x + 2y = 32, значит, x + y = 16.

Из периметра ABM: x + y + AM = 24. Подставляем x + y = 16: AM = 24 − 16 = 8 см.

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой, поэтому треугольник ABM прямоугольный. По теореме Пифагора x² = y² + 8², то есть (x − y)(x + y) = 64. Поскольку x + y = 16, получаем x − y = 4.

Решая систему x + y = 16 и x − y = 4, находим x = 10, y = 6. Следовательно, BC = 2y = 12 см.

Ответ: AM = 8 см.