1141. При каком значении x верно равенство: 1) 5ˣ · 5⁶ = 5²⁴; 2) (3ᵐ)ˣ = 3⁵ᵐ; 3) 2ˣ · 2ᵐ = 2⁶ᵐ; 4) (4ˣ)³ᵐ = 4⁶ᵐ², где m — натуральное число?

Основания степеней одинаковы, поэтому приравниваем показатели.

1. \(5^{x+6}=5^{24}\), значит \(x+6=24\), откуда \(x=18\).
2. \((3^m)^x=3^{mx}=3^{5m}\). Так как \(m\) — натуральное число, \(m\ne0\); следовательно, \(mx=5m\), и \(x=5\).
3. \(2^{x+m}=2^{6m}\), значит \(x+m=6m\), откуда \(x=5m\).
4. \((4^x)^{3m}=4^{3mx}=4^{6m^2}\). Поэтому \(3mx=6m^2\); делим на \(3m\ne0\) и получаем \(x=2m\).

Ответ: 1) 18; 2) 5; 3) 5m; 4) 2m.