1146. В равнобедренном треугольнике ABC AB = AC = b, ∠A = 30°. Найдите высоты BE и AD, а также отрезки AE, EC, BC.

Пусть E — основание высоты из B на AC, а D — основание высоты из A на BC.

1. В прямоугольном треугольнике ABE: BE = AB · sin 30° = b/2, AE = AB · cos 30° = √3b/2.
2. Так как AC = b, EC = AC − AE = b − √3b/2 = b(2 − √3)/2.
3. Высота BE делит равнобедренный треугольник на два прямоугольных треугольника, поэтому BC = 2b · sin 15° = b√(2 − √3).
4. Из равенства площадей BC · AD/2 = AC · BE/2 получаем AD = b²/BC = b/√(2 − √3) = b√(2 + √3).

Ответ: BE = b/2; AD = b√(2 + √3); AE = √3b/2; EC = b(2 − √3)/2; BC = b√(2 − √3).