117. Гипотенуза AB равнобедренного прямоугольного треугольника ABC равна 12 см. Точка N — середина катета AC. Найдите расстояние от точки N до прямой AB.

Пусть длина каждого катета равна \(a\). В равнобедренном прямоугольном треугольнике \(AB=a\sqrt{2}\), поэтому \(a\sqrt{2}=12\) и \(a=6\sqrt{2}\) см.

Высота из вершины \(C\) к гипотенузе \(AB\) равна \(h=\dfrac{AC\cdot BC}{AB}=\dfrac{a^2}{12}=6\sqrt{2}\) см.

Расстояние до прямой \(AB\) меняется линейно вдоль отрезка \(AC\): у точки \(A\) оно равно нулю, у точки \(C\) — \(h\). Так как \(N\) — середина \(AC\), её расстояние равно \(\dfrac{h}{2}=3\sqrt{2}\) см.

Ответ: \(3\sqrt{2}\) см.