1176. Упростите выражения: а) (√x + √y)(x − √xy + y); б) (3 + ⁴√a)(9 − 3⁴√a + √a); в) (2√p + √q)(4p − 2√pq + q); г) (∛a + ⁶√ab + ∛b)(⁶√a − ⁶√b).

Применяем формулу суммы кубов: \((u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3\).

1. а) Берём \(u=\sqrt{x}\), \(v=\sqrt{y}\). Тогда \((u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3=x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\).
2. б) Берём \(u=3\), \(v=\sqrt[4]{a}\). Так как \(v^2=\sqrt a\), получаем \((u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3=27+(\sqrt[4]{a})^3=27+\sqrt[4]{a^3}\).
3. в) Берём \(u=2\sqrt p\), \(v=\sqrt q\). Тогда \((u+v)(u^2-uv+v^2)=u^3+v^3=8p\sqrt p+q\sqrt q\).
4. г) Обозначим \(u=\sqrt[6]{a}\), \(v=\sqrt[6]{b}\). В первой скобке получаем \(u^2+uv+v^2\), а во второй — \(u-v\). Следовательно, \((u^2+uv+v^2)(u-v)=u^3-v^3=\sqrt a-\sqrt b\).

Ответ: а) \(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\); б) \(27+\sqrt[4]{a^3}\); в) \(8p\sqrt p+q\sqrt q\); г) \(\sqrt a-\sqrt b\).