118. Развивай мышление. а) Найдите среди первых 500 натуральных чисел пары чисел-близнецов. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами.

а) Пары простых чисел-близнецов среди чисел от 1 до 500:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

Всего получилось 24 пары.

б) Любое простое число, большее 3, при делении на 6 даёт остаток 1 или 5: остальные остатки означали бы делимость на 2 или на 3. Если два таких простых числа отличаются на 2, их остатки должны быть 5 и 1. Поэтому пара, кроме (3, 5), имеет вид (6n − 1, 6n + 1).

в) Обратное утверждение неверно: при n = 4 получаем числа 23 и 25. Хотя они имеют вид 6n − 1 и 6n + 1, число 25 составное, значит, это не пара простых чисел-близнецов.