118. Развивай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Числа-близнецы — простые числа, разность которых равна 2. Среди чисел до 500 получаются пары: (3; 5), (5; 7), (11; 13), (17; 19), (29; 31), (41; 43), (59; 61), (71; 73), (101; 103), (107; 109), (137; 139), (149; 151), (179; 181), (191; 193), (197; 199), (227; 229), (239; 241), (269; 271), (281; 283), (311; 313), (347; 349), (419; 421), (431; 433), (461; 463).

Всего получилось 24 пары.

б) Подставим значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

• n = 87: 521 и 523;
• n = 135: 809 и 811;
• n = 165: 989 и 991.

В последней паре 989 не простое число: 989 = 23 · 43. Поэтому по формулам получаем указанные числа, но пара при n = 165 не является парой чисел-близнецов.

в) Для двузначных чисел подходят k от 2 до 16. Проверяем пары и оставляем те, где хотя бы одно число составное: (11; 13) — простые; (17; 19) — простые; (23; 25); (29; 31) — простые; (35; 37); (41; 43) — простые; (47; 49); (53; 55); (59; 61) — простые; (65; 67); (71; 73) — простые; (77; 79); (83; 85); (89; 91); (95; 97).

Следовательно, искомые пары: (23; 25), (35; 37), (47; 49), (53; 55), (65; 67), (77; 79), (83; 85), (89; 91), (95; 97).