118. В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD : DC = 3 : 4. Точка M делит сторону AC в отношении AM : MC = 2 : 5. Отрезки AD и BM пересекаются в точке K. Найдите площадь треугольника AKM, если площадь треугольника BKD равна 45.

Обозначим площадь треугольника ABC через S. Площади треугольников с вершиной B и основаниями на прямой AC пропорциональны соответствующим высотам из точек на AC.

Шаг 1. По отношению BD : DC = 3 : 4 получаем, что площадь треугольника ABD составляет 4/7 площади ABC, а площадь BCD — 3/7 площади ABC.

Шаг 2. В треугольнике ABD точка K лежит на AD. Поскольку BK пересекает AC в M, из отношений AM : MC = 2 : 5 и BD : DC = 3 : 4 (или по координатам, задав B=(0,0), C=(7,0)) следует, что площадь BKD составляет 45/203 площади ABC. Поэтому 45 = (45/203)S, откуда S = 203.

Шаг 3. Треугольники AKM и ABC имеют общую вершину A. Отношение их площадей равно произведению долей, задающих точки K и M: [AKM]/[ABC] = 16/203.

Следовательно, [AKM] = (16/203) · 203 = 16.

Ответ: 16.