120. Прямая KP делит сторону AB треугольника ABC в отношении AK : KB = 2 : 1, а сторону BC — в отношении BP : PC = 3 : 1. Медиана BB₁ пересекает прямую KP в точке M. При этом площадь четырёхугольника B₁MPC равна 17. Найдите площадь треугольника ABC.

Шаг 1. Введём аффинные координаты: A=(1,0), B=(0,0), C=(0,1). Тогда K=(1/3,0), поскольку AK : KB = 2 : 1, а P=(0,3/4), поскольку BP : PC = 3 : 1.

Шаг 2. Прямая KP проходит через эти точки, поэтому её уравнение: 9x + 4y = 3. Медиана BB₁ имеет уравнение x=y. Следовательно, точка пересечения M имеет координаты (3/13, 3/13).

Шаг 3. Точка B₁ — середина AC, то есть B₁=(1/2,1/2). По формуле площади многоугольника (или разбиением на треугольники) площадь четырёхугольника B₁MPC составляет 17/104 площади ABC.

Шаг 4. Если площадь ABC равна S, то (17/104)S = 17, откуда S = 104.

Ответ: 104.