119. В треугольнике ABC точка K делит сторону AB в отношении AK : KB = 1 : 2, а точка P делит сторону BC в отношении CP : PB = 2 : 1. Прямые AP и CK пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника ABC, если площадь треугольника BMC равна 4.

Шаг 1. Поскольку AK : KB = 1 : 2, точка K делит AB так, что AK составляет треть AB.

Шаг 2. Из CP : PB = 2 : 1 следует PB : PC = 1 : 2. Используя отношения деления сторон, точку пересечения прямых AP и CK можно выразить в барицентрических координатах относительно ABC как M=(2/5, 1/5, 2/5).

Шаг 3. Треугольники BMC и ABC имеют общее основание BC. Отношение их площадей равно доле координаты M при вершине A: [BMC]/[ABC] = 2/5.

Значит, 4 = (2/5)[ABC], откуда [ABC] = 10.

Ответ: 10.