1186. Решите систему уравнений: a) $$\begin{cases} \frac{x}{5} = 1 - \frac{y}{15} \\ 2x - 5y = 0 \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} 3m + 5n = 1 \\ \frac{m}{4} + \frac{3n}{5} = 1 \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} \frac{4x - 3y}{6} = 1 \\ \frac{2x + 1}{6} = \frac{9 - 5y}{8} \end{cases}$$ г) $$\begin{cases} 3q = 4p - 7 \\ \frac{1 - 3q}{4} = \frac{4 - 2p}{3} \end{cases}$$

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Для решения системы будем использовать метод подстановки, предварительно упростив первое уравнение.

Шаг 1: Упрощение первого уравнения. Умножим обе части первого уравнения на 15, чтобы избавиться от знаменателей:

$ 15 \cdot \frac{x}{5} = 15 \cdot (1 - \frac{y}{15}) $

$ 3x = 15 - y $

Выразим y через x: $ y = 15 - 3x $.

Шаг 2: Подстановка. Подставим выражение для y во второе уравнение:

$ 2x - 5(15 - 3x) = 0 $

Шаг 3: Решение относительно x. Раскроем скобки и решим полученное уравнение:

$ 2x - 75 + 15x = 0 $

$ 17x = 75 $

$ x = \frac{75}{17} $

Шаг 4: Нахождение y. Подставим найденное значение x в выражение для y:

$ y = 15 - 3 \cdot \frac{75}{17} $

$ y = 15 - \frac{225}{17} $

$ y = \frac{15 \cdot 17 - 225}{17} $

$ y = \frac{255 - 225}{17} $

$ y = \frac{30}{17} $

Ответ: $ x = \frac{75}{17}, y = \frac{30}{17} $

Краткое пояснение: Для решения системы используем метод подстановки, выразив одну переменную из первого уравнения.

Шаг 1: Выражение m. Из первого уравнения выразим m:

$ 3m = 1 - 5n $

$ m = \frac{1 - 5n}{3} $

Шаг 2: Упрощение второго уравнения. Умножим обе части второго уравнения на 20 (наименьший общий знаменатель для 4 и 5):

$ 20 \cdot (\frac{m}{4} + \frac{3n}{5}) = 20 \cdot 1 $

$ 5m + 12n = 20 $

Шаг 3: Подстановка. Подставим выражение для m во второе уравнение:

$ 5 \cdot \frac{1 - 5n}{3} + 12n = 20 $

Шаг 4: Решение относительно n. Умножим обе части уравнения на 3:

$ 5(1 - 5n) + 36n = 60 $

$ 5 - 25n + 36n = 60 $

$ 11n = 55 $

$ n = 5 $

Шаг 5: Нахождение m. Подставим найденное значение n в выражение для m:

$ m = \frac{1 - 5 \cdot 5}{3} $

$ m = \frac{1 - 25}{3} $

$ m = \frac{-24}{3} $

$ m = -8 $

Ответ: $ m = -8, n = 5 $

Краткое пояснение: Преобразуем оба уравнения, чтобы затем решить систему методом подстановки или сложения.

Шаг 1: Упрощение первого уравнения. Умножим обе части на 6:

$ 4x - 3y = 6 $

Шаг 2: Упрощение второго уравнения. Умножим обе части на 24 (наименьший общий знаменатель для 6 и 8):

$ 24 \cdot \frac{2x + 1}{6} = 24 \cdot \frac{9 - 5y}{8} $

$ 4(2x + 1) = 3(9 - 5y) $

$ 8x + 4 = 27 - 15y $

$ 8x + 15y = 23 $

Шаг 3: Решение системы методом сложения. Умножим первое уравнение на 2:

$ 2 \cdot (4x - 3y) = 2 \cdot 6 $

$ 8x - 6y = 12 $

Теперь вычтем это уравнение из второго упрощенного уравнения:

$ (8x + 15y) - (8x - 6y) = 23 - 12 $

$ 21y = 11 $

$ y = \frac{11}{21} $

Шаг 4: Нахождение x. Подставим значение y в первое упрощенное уравнение:

$ 4x - 3 \cdot \frac{11}{21} = 6 $

$ 4x - \frac{11}{7} = 6 $

$ 4x = 6 + \frac{11}{7} $

$ 4x = \frac{42 + 11}{7} $

$ 4x = \frac{53}{7} $

$ x = \frac{53}{28} $

Ответ: $ x = \frac{53}{28}, y = \frac{11}{21} $

Краткое пояснение: Преобразуем уравнения, чтобы решить систему методом подстановки.

Шаг 1: Упрощение второго уравнения. Умножим обе части на 12 (наименьший общий знаменатель для 4 и 3):

$ 12 \cdot \frac{1 - 3q}{4} = 12 \cdot \frac{4 - 2p}{3} $

$ 3(1 - 3q) = 4(4 - 2p) $

$ 3 - 9q = 16 - 8p $

Перенесем переменные в левую часть, а числа в правую:
$ 8p - 9q = 16 - 3 $

$ 8p - 9q = 13 $

Шаг 2: Выражение p из первого уравнения.

$ 3q = 4p - 7 $

$ 4p = 3q + 7 $

$ p = \frac{3q + 7}{4} $

Шаг 3: Подстановка. Подставим выражение для p в упрощенное второе уравнение:

$ 8 \cdot \frac{3q + 7}{4} - 9q = 13 $

Шаг 4: Решение относительно q. Упростим и решим уравнение:

$ 2(3q + 7) - 9q = 13 $

$ 6q + 14 - 9q = 13 $

$ -3q = 13 - 14 $

$ -3q = -1 $

$ q = \frac{1}{3} $

Шаг 5: Нахождение p. Подставим значение q в выражение для p:

$ p = \frac{3 \cdot \frac{1}{3} + 7}{4} $

$ p = \frac{1 + 7}{4} $

$ p = \frac{8}{4} $

$ p = 2 $

Ответ: $ q = \frac{1}{3}, p = 2 $