1196. Докажите, что \(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\) при любом целом n, a ≠ 0 и b ≠ 0.

Решение:

Рассмотрим левую часть равенства:

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}\)

Используя свойство степени дроби \(\left(\frac{x}{y}\right)^k = \frac{x^k}{y^k}\), получаем:

\(\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{a^{-n}}{b^{-n}}\)

Теперь применим свойство отрицательной степени \(x^{-k} = \frac{1}{x^k}\) к числителю и знаменателю:

\(\frac{a^{-n}}{b^{-n}} = \frac{\frac{1}{a^n}}{\frac{1}{b^n}}\)

Разделим дробь на дробь:

\(\frac{\frac{1}{a^n}}{\frac{1}{b^n}} = \frac{1}{a^n} \cdot \frac{b^n}{1} = \frac{b^n}{a^n}\)

Используя свойство степени дроби \(\frac{x^k}{y^k} = \left(\frac{x}{y}\right)^k\), получаем:

\(\frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}\)

Мы получили правую часть равенства. Следовательно, равенство доказано.

Доказано.