12. (1 балл) Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³ - t² - √2t + 2√3, где х - расстояние от точки х = 0 в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения. В какой самый поздний момент времени её скорость составляла 2 м/с? Ответ дайте в секундах.

Решение:

Скорость материальной точки \( v(t) \) является производной от её положения \( x(t) \) по времени \( t \).

\( v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - t^2 - \sqrt{2}t + 2\sqrt{3}) \)

\( v(t) = 3t^2 - 2t - \sqrt{2} \)

По условию, скорость составляла \( 2 \) м/с. Приравняем \( v(t) \) к \( 2 \):

\( 3t^2 - 2t - \sqrt{2} = 2 \)

Перенесем \( 2 \) в левую часть и приведем подобные члены:

\( 3t^2 - 2t - \sqrt{2} - 2 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант:

\( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(3)(-\sqrt{2} - 2) \)

\( D = 4 + 12(\sqrt{2} + 2) = 4 + 12\sqrt{2} + 24 = 28 + 12\sqrt{2} \)

Так как \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), то \( D \approx 28 + 12(1.414) = 28 + 16.968 = 44.968 \).

Найдем корни \( t \):

\( t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{28 + 12\sqrt{2}}}{6} \)

Поскольку \( t \) — время, оно должно быть неотрицательным. Нужно найти самый поздний момент времени, что означает наибольшее значение \( t \).

\( t_1 = \frac{2 + \sqrt{28 + 12\sqrt{2}}}{6} \) (положительный корень)

\( t_2 = \frac{2 - \sqrt{28 + 12\sqrt{2}}}{6} \) (отрицательный корень)

Наибольший положительный корень — это \( t_1 \).

\( \sqrt{28 + 12\sqrt{2}} \approx \sqrt{44.968} \approx 6.706 \)

\( t_1 \approx \frac{2 + 6.706}{6} = \frac{8.706}{6} \approx 1.451 \) секунд.

Ответ: \( \frac{2 + \sqrt{28 + 12\sqrt{2}}}{6} \) секунд