15. (3 балла) Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

Решение:

Многогранник можно разбить на два прямоугольных параллелепипеда.

Вариант 1: Разбить на два параллелепипеда.

Первый параллелепипед имеет размеры: длина = 4, ширина = 3, высота = 2.

Объем первого параллелепипеда: \( V_1 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \).

Второй параллелепипед имеет размеры: длина = 2 (оставшаяся часть от 5), ширина = 3, высота = 2.

Объем второго параллелепипеда: \( V_2 = 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 \).

Общий объем: \( V = V_1 + V_2 = 24 + 12 = 36 \).

Вариант 2: Разбить по-другому.

Можно представить многогранник как большой параллелепипед с вырезанной частью.

Большой параллелепипед: длина = 5, ширина = 3, высота = 2.

Объем большого параллелепипеда: \( V_{большой} = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \).

Вырезанная часть (если бы она была): длина = 5, ширина = 3, высота = 2.

Это неверный подход, так как мы не можем просто вычесть, нужно корректно разбить.

Вариант 3: Разбить на два параллелепипеда иначе.

Первый параллелепипед: длина = 5, ширина = 3, высота = 2.

Объем первого: \( V_1 = 5 \cdot 3 \cdot 2 = 30 \).

Второй параллелепипед (выступ): длина = 2 (часть от 5), ширина = 2 (часть от 3), высота = 2.

Объем второго: \( V_2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \).

Это тоже неверно. Давайте вернемся к Варианту 1, который наиболее логичен.

Рассмотрим чертеж внимательнее:

Размеры: 5, 3, 2 (на основании); 2, 3, 2 (вертикальная часть).

1. Параллелепипед в основании: 4 (длина) \(\times\) 3 (ширина) \(\times\) 2 (высота) = \( 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \).

2. Верхний выступ: 2 (длина) \(\times\) 3 (ширина) \(\times\) 2 (высота) = \( 2 \cdot 3 \cdot 2 = 12 \).

Общий объем: \( 24 + 12 = 36 \).

Еще раз проверим разбиение.

Представим, что нижняя часть имеет размеры 4x3x2. Тогда выступ будет иметь размеры 2x3x2. Объем = 24 + 12 = 36.

Если нижняя часть имеет размеры 5x3x2, то верхняя часть должна быть 2x2x2. Объем = 30 + 8 = 38. Это не совпадает.

Правильное разбиение:

Можно представить многогранник как:

1. Нижний параллелепипед: 5 (длина) \(\times\) 3 (ширина) \(\times\) 2 (высота) = \( 30 \).

2. Выступ над частью нижнего параллелепипеда: 2 (длина) \(\times\) 2 (ширина) \(\times\) 2 (высота) = \( 8 \).

Общий объем = \( 30 + 8 = 38 \).

Проверим другую разбивку:

1. Нижний параллелепипед: 4 (длина) \(\times\) 3 (ширина) \(\times\) 2 (высота) = \( 24 \).

2. Вертикальная часть, примыкающая к боковой грани: 5 (глубина) \(\times\) 3 (ширина) \(\times\) 2 (высота) = \( 30 \). Нет, это неверно.

Вернемся к самому очевидному разбиению:

1. Параллелепипед с размерами 4 (длина) \(\times\) 3 (ширина) \(\times\) 2 (высота) = \( 24 \).

2. Примыкающий к нему параллелепипед с размерами 2 (длина) \(\times\) 3 (ширина) \(\times\) 2 (высота) = \( 12 \).

Общий объем = \( 24 + 12 = 36 \).

Проверим третью разбивку:

1. Параллелепипед с размерами 5 (длина) \(\times\) 3 (ширина) \(\times\) 2 (высота) = \( 30 \).

2. Вырез в нем: 3 (длина, от 5-2) \(\times\) 2 (ширина, от 3-1) \(\times\) 2 (высота) = \( 12 \). Это тоже не подходит.

Последняя попытка корректного разбиения:

1. Нижний слой: 5 \(\times\) 3 \(\times\) 2 = \( 30 \).

2. Верхний слой: 2 \(\times\) 2 \(\times\) 2 = \( 8 \).

Общий объем: \( 30 + 8 = 38 \).

Проверим, как числа соотносятся с фигурой:

Основание: 5 и 3. Вертикальные ребра: 2. Выступ: 2 и 2.

Значит, есть параллелепипед 5 \(\times\) 3 \(\times\) 2 = \( 30 \).

И есть выступ размером 2 \(\times\) 2 \(\times\) 2 = \( 8 \).

Итого: \( 30 + 8 = 38 \).

Если использовать разбиение из первого варианта:

1. Параллелепипед 4 \(\times\) 3 \(\times\) 2 = \( 24 \).

2. Примыкающий параллелепипед 2 \(\times\) 3 \(\times\) 2 = \( 12 \).

Сумма = \( 36 \).

Исходя из наглядности рисунка, скорее всего, разбиение на 4x3x2 и 2x3x2 является правильным.

Размеры:

Длина всего основания = 5.

Ширина всего основания = 3.

Высота всего многогранника = 2.

Верхняя часть имеет выступы:

По длине: 2.

По ширине: 2.

Высота верхней части = 2.

Разбиваем так:

1. Нижний параллелепипед: 4 \(\times\) 3 \(\times\) 2 = \( 24 \).

2. Примыкающий к нему параллелепипед: 2 \(\times\) 3 \(\times\) 2 = \( 12 \).

Общий объем = \( 24 + 12 = 36 \).

Ответ: 36.