13. (3 балла) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x² + x + 6, y = 0

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой \( y = -x^2 + x + 6 \) и осью \( x \) (линией \( y = 0 \)), нужно найти точки пересечения параболы с осью \( x \). Для этого приравняем \( y \) к \( 0 \):

\( -x^2 + x + 6 = 0 \)

Умножим на -1, чтобы сделать старший коэффициент положительным: \( x^2 - x - 6 = 0 \).

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).

Корни: \( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \).

\( x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \)

\( x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \)

Парабола \( y = -x^2 + x + 6 \) имеет ветви, направленные вниз, и пересекает ось \( x \) в точках \( -2 \) и \( 3 \). Фигура находится над осью \( x \) между этими точками.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от функции \( y \) по \( x \) от \( -2 \) до \( 3 \):

\( S = \int_{-2}^{3} (-x^2 + x + 6) dx \)

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{-2}^{3} \]

Подставим верхний предел интегрирования:

\[ \left( -\frac{3^3}{3} + \frac{3^2}{2} + 6(3) \right) = \left( -\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18 \right) = \left( -9 + 4.5 + 18 \right) = 13.5 \]

Подставим нижний предел интегрирования:

\[ \left( -\frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} + 6(-2) \right) = \left( -\frac{-8}{3} + \frac{4}{2} - 12 \right) = \left( \frac{8}{3} + 2 - 12 \right) = \frac{8}{3} - 10 = \frac{8 - 30}{3} = -\frac{22}{3} \approx -7.33 \]

Вычислим разность:

\[ S = 13.5 - \left(-\frac{22}{3}\right) = 13.5 + \frac{22}{3} = \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{81 + 44}{6} = \frac{125}{6} \]

Ответ: \( \frac{125}{6} \)