12. (1 балл) Найдите значение cos cosa, если известно, что sina = 1/5 и α ∈ II четверти

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

Подставим известное значение \( \sin \alpha \):

\[ \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{1}{25} + \cos^2 \alpha = 1 \]

Выразим \( \cos^2 \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{25} = \frac{25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \]

Теперь найдём \( \cos \alpha \), извлекая квадратный корень:

\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{24}{25}} = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} \]

Упростим \( \sqrt{24} \):

\[ \sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6} \]

Значит, \( \cos \alpha = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5} \).

По условию, \( \alpha \) находится во II четверти. Во II четверти косинус отрицателен.

Следовательно, выбираем отрицательное значение:

\[ \cos \alpha = - \frac{2\sqrt{6}}{5} \]

Ответ: \( -\frac{2\sqrt{6}}{5} \).